めんどくさがり屋の数学

堅苦しい数学表現をJK風に解説

【大学数学記号】確率変数って、変数なの?関数なの?どっちなの?

 

どうも4日後に統計学の中間テストを控えているkemiです.

あれれー,なんで4日後なのに今更確率変数の話なんてしてるのと思いの方,そうです,さぼっていました.言い訳をさせてもらうと,確率論から始まり1か月にも及ぶテスト期間も次のテストで最後です.つまり,そういうことです.

 

さて、本題に入ります(確率変数って、変数なの?関数なの?どっちなの?). 確率変数っていうんだがら変数でしょ,確かに.しかし,腑に落ちない.

それでは,まず確率変数の定義を確認してみましょう.ちなみにここでは {X} を確率変数として扱います.

{X : \Omega \to {\bf R^2} } が確率変数であるとは

なみに,数学記号に慣れてない人はこの表記がおそらく意味不明であると思います.私も大学生初期のころは,講義でこんな記号を使われても意味不明でした.このブログでは,そういったことがないように,拙いですが,記号の説明をさせていただきます.

まず, {X :} というのは,これから{X}について定義するよっていう意味です.

次に, {\Omega} というのは,全体集合のことです.全体集合とは,その時に考えられる世界のことです.例えば,あるクラスの平均身長を知りたい時(その時),そのクラスの生徒一人一人の身長を元とする集合を全体集合にしてしまえばいいでしょう.具体的に書くと,全体集合を {U} とした時,3人だけのクラスを考えます.おそらく離島の学校でしょうね.また元を,生徒の身長にします.つまりこの場合の全体集合は, {U = \{143, 155, 197\} } のように書けます.さて,ここで全体集合を {U} と書いた理由は,別に {\Omega} で書かれていなくても全体集合の場合がありますよっていうことを伝えたかったからです.しかし,多くの場合 {\Omega} が全体集合として扱われます.

最後の,{R^2}というのは,なんのことはない{x y}座標全体のことです.まず,{R^2} というものの{R}は実数全体のことです.実数っていうのはマイナス無限からプラス無限までの数のことです.つまり,数直線で表される数のことです.これを2乗しているから,{x y}座標全体のことなんです.つまり,{(x, y) = (0, 0)} っていう表記を使うと {(x, y) = (R,R)} みたいな感じです.先に{R^2}を説明したのは,次の説明をわかりやすくするためです.

最後になりました {\to} というのは,写像を表しています.写像といっても基本的には関数を想像すれば大丈夫です.そもそも関数を説明する時も,写像という言葉を用います.この場合は,全体集合から{\bf R^2}に写す写像または関数のようなものを考えてください.

写像の厳密な定義は,{X,Y} を集合とする.任意の {x \in X} に対し,ある {y \in Y} が一意に定まるとする.このような対応規則を,{X} から {X} への写像という.

かなり堅苦しくて大学数学に慣れていない人は少しわかりにくいと思います.まず,任意っていうのは,対応している集合の全ての元からどれか一つということ(どれでもいいから,Xから一つ)です.ある {y \in Y} が一意に定まるというのは,集合Xの元のどれかしらが必ずYの元に写されるよっていうまさに {y = f(x)} のような感じです.集合だと考えにくい場合は, {x y}軸の定められたグラフで考えてみてください.でも,大学数学をやるには集合の考え方は非常に大事です.

 

さて,話がだいぶそれました.少し,統計の勉強に戻ります.楽しみにしててください.もし統計学の勉強をしてみたいと思ってくれた人がいたら,この本がとても分かりやすいのでお勧めです.

私が参考書を買うときは,演習問題が載っているかつ詳しい解説付きのものを選びます.この本はその要件をしっかり満たしてくれているので,お勧めさせていただきました.

 

入門・演習 数理統計

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