めんどくさがり屋の数学

堅苦しい数学表現をJK風に解説

数学を学びたいけど、何から始めればいいのかわからない人向け

最初、数学の理解ができないのは至極当然のことです。これは、例えば、日本生まれ日本育ちの人が、学習したことのない言語で書かれた文章を見て、何を言わんとしているのか理解できる人がいないのと同じことだと言えます。つまり、数学を学ぶことは新しい言語を学ぶことと同意、ということができます。

語学を学ぶとき、我々は最低限の文法を覚えますよね。次に、日常会話で使う単語を覚え、日常会話をスラスラ言えるようにします。今度は、難しい読解などを行います。このプロセスを数学に置き換えて考えてみましょう。

語学 数学
最低限の文法 定義の暗記
日常会話の単語 定理の証明
難しい読解 応用問題

かなり大雑把ですが、だいたいこのような感じになると思います。ここで出てきた、定義と定理ですが、その説明、違いを言えるでしょうか。私は大学に入学するまでこんなことを考えもしませんでした。
簡単に説明します。
題と言う言葉は聞いたことがあると思います。命題とは、真であるか偽であるかを判定することができる文や式のことです。つまり、{1+2=3}という命題は真、といった具合です。また、数学の場合、「真となる命題」を単に命題と呼びます。
に、定義とは人間が勝手に決めた約束事みたいなものです。例えば、ネイピア数{e}の定義は{\frac{d}{dx} a^x = lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = a^x}を満たすような実数{a}、つまり{\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} = 1}ネイピア数の定義とする。こんな感じで、なんかよくわからないけど、こうやって定義されたんだから、これはこれで認めないと。
もそも数字の存在すらも人間が決めたルールですよね。それを、数字同士の関係から命題が常に真になるように証明をして得られた命題のうち大事なものを定理と呼びます。つまり、定理は定義を用いて証明することができます。また、定理のことを性質ともいいます。
た、公理については、理由を必要としない当たり前のことをいいます。定理は定理、定義から証明することができるため、どんどん定理を証明していこうとするといつかは証明できなくなります。その時点での命題を公理と呼びます。

さて、長くなりましたが定義と定理についてわかってもらえたでしょうか。もしわからなければ、インターネットで検索してもらえればよりわかりやすい解説が見つかると思います。

数学を勉強するということは、
定義の暗記
定理の証明を繰り返す
問題演習

ということです。

これって結構定義の暗記が要なんです。定義がわからないと、どうやって計算すればいいのかわかりませんからね。そのあとに問題演習をすることで、様々な問題パターンに慣れれば大丈夫でしょう。

ちなみに、一つの言語を学ぶためには、一度基礎から単語、応用までこなせればその言語についてはだいぶ習得したと言えると思います。しかし、数学の場合は、分野が変わるごとに新しい言語を覚えるといった感覚でこなしていきましょう。